发布时间：2024-02-26
2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学（二）
一、选择题：每小题10分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1. 〖cos(x-2)/(x-2)〗= （ ）
A. 1 B. cos1 C. 0 D. π
答案：B
解读： 〖cos(x-2)/(x-2)〗=cos(3-2)/(3-2)=cos1
2. 设函数y=x^2+1, 则dy/dx=（ ）
A. 1/3 x^3 B. x^2 C. 2x D. x/2
答案：C
3. 设函数f(x)=cosx, 则f’( π/2)= （ ）
A.-1 B. -1/2 C. 0 D. 1
答案：A
解读：
4. 下列区间为函数f(x)=sinx的单调增区间的是（ ）
A. (0,π/2) B. (π/2,π) C. (π/2,3/2 π) D. (0, 2π)
答案：A
5. ∫▒〖x^2 dx〗=（ ）
A. 3x^3+C B. x^3+C C. x^3/3+C D. x/2+C
答案：C
解读：由基本积分公式 可得
6. ∫▒〖1/(1+x) dx= 〗（ ）
A. e^(1+x)+C B. 1/(1+x)+C C. x+C D. ln|1+x|+C
答案：D
解读：
7. 设函数z=ln(x+y), 则∂z/∂x |_((1,1))=（ ）
A. 0 B. 1/2 C. ln2 D. 1
答案：B
解读：∂z/∂x=1/(x+y),将 代入，∂z/∂x |_((1,1))=1/2
8. 曲线y=√(4-x^2 )与x轴所围成的平面图形的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π
答案：C
解读：画图可知此图形是以坐标原点为圆心，半径为2且位于x轴上方的半圆，也可用定积分的几何意义来做
9. 设函数〖z=e〗^x+y^2, 则 （ ）
A. 2y B. e^x+2y C. e^x+y^2 D. e^x
答案：D
解读： ，
10. 设事件A,B互不相容, P(A)=0.3, P(B)=0.2, 则P(A+B)=（ ）
A. 0.44 B. 0.5 C. 0.1 D. 0.06
答案：B
解读：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0，P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.5
二、填空题：每小题4分，共40分.
11. 〖(x^2+x+2)/(x^2-3)〗=.
答案：
解读： 〖(x^2+x+2)/(x^2-3)〗=(1^2+1+2)/(1^2-3)=-2
12. " " 〖"lim" 〗┬"x→0" 〖"sin" "2x" /"3x" 〗=.
答案：
解读： 2/3
13. 设函数f(x)={█(x^2+1,x<0@a+x,x≥0)┤在x=0处连续,则a=.
答案：1
解读：
14. 曲线y=x^3+3x的拐点坐标为.
答案：（0，0）
解读： ，将 代入 ， ，所以拐点为
15. 设函数f(x)=cosx, 则f’’(x)=.
答案：
解读：
16. 曲线y=sin(x+1)在点(-1,0)处的切线斜率为.
答案：1
解读： ，
17. ∫▒〖2xe^(x^2 ) 〗 dx= .
答案：e^(x^2 )+C
解读：
18. ∫_0^1▒cosxdx=.
答案：sin1
解读：
19. ∫_0^(+∞)▒e^(-x) dx=.
答案：1
解读：
20. 设函数z=x^3 e^y, 则全微分dz=.
答案：3x^2 e^y dx+x^3 e^y dy
解读： ， ，
三、解答题：共70分。解答应写出推理、演算步骤。
21. 计算 〖(e^x-1)/x〗
答案： 〖(e^x-1)/x〗= 〖e^x/1〗=1
22. 计算∫▒〖lnx/x dx〗.
答案：∫▒〖lnx/x dx〗=∫▒〖lnxd(lnx)〗=1/2 〖(lnx)〗^2+C
23. 计算∫▒〖lnx/x dx〗.
答案：∫▒〖lnx/x dx〗=∫▒〖lnxd(lnx)〗=1/2 〖(lnx)〗^2+C
24. 计算∫▒xcosxdx.
解读：∫▒xcosxdx=∫▒xd(sinx) =xsinx-∫▒sinxdx= xsinx+cosx+C
25. 已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9, 记X为他两次独立投篮投中的次数.
（1）求X的概率分布
（2）求X的数学期望EX
解读：（1）x可能的取值是0,1,2
P(x=0)=0,1×0.1=0.01
P(x=1)=2×0.9×0.1=0.18
P(x=2)=0.9×0.9=0.81
0 1 2
0.01 0.18 0.81
因此x的概率分布为
（2）数学期望EX=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8
26. 求函数f(x)=x^3-3x-2的单调区间和极值.
解读： =3x^2-3，令 =0, 得驻点x_1=-1, x_2=1
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) ↑ 极大值0 ↓ 极小值-4 ↑
因此f(x)的单调增区间是(-∞,-1), (1,+∞)。单调减区间为(-1,1)
f(x)极大值为f(-1)=0,极小值为f(1)=-4
27. 已知函数f(x)=-x^2+2x：
（1）求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积S。
（2）求(1)中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.
解读：（1）由{█(y=-x^2+2x@y=0)┤得交点坐标为(0,0),(2,0)
S=∫_0^2▒〖(-x^2+2x)〗 dx=（-x^3/3+x^2）|_0^2=4/3
（2）V=∫_0^2▒〖π〖(-x^2+2x)〗^2 〗 dx=π∫_0^2▒〖(x^4-4x^3+〖4x〗^2)dx〗=〖π(1/5 x^5-x^4+4/3 x^3)|〗_0^2=16/15 π
28. 求二元函数f(x, y)=x^2+y^2+2y的极值.（2012年）
解读：{█(f_x’(x,y)=2x@〖f_y〗^' (x,y)=2y+2)┤，令{█(f_x’(x,y)=0@〖f_y〗^' (x,y)=0)┤ 得驻点（0，-1）
因为f_xx''(x,y)=2, f_xy''(x,y)=0, f_yy''(x,y)=2
所以A=f_xx''(0,-1)=2, B=f_xy''(0,-1)=0, 〖C=f〗_yy''(0,-1)=2
由于A>0且B^2-AC<0,故f(x,y)在点（0，-1）处取得极小值，极小值f(0, -1)= -1
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