发布时间：2024-02-26
2021年成人高等学校招生全国统一考试高起点
数学(文史财经类)
第Ⅰ卷(选择题，共85分)
一、选择题(本大题共17小题，每小题5分，共85分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A＝{x|－1≤x<5}，B＝{x|－2<x<2}，则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x<2} B．{x|－2<x<2}
C．{x|－2<x<5} D．{x|－1≤x<5}
2．已知sin α<0且tan α<0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．下列函数中，既是偶函数又是周期函数的为( )
A．y＝sin 2x B．y＝x2
C．y＝tan x D．y＝cos 3x
4.13 －3＋log218 ＋34 0＝( )
A．31 B．25
C．24 D．13
5．函数y＝5cos2x－3sin2x的最小正周期为( )
A．4π B．2π C．π D．π2
6．设甲：函数y＝kx 的图像经过点(1，3)；
乙：k＝3，
则( )
A．甲是乙的必要条件但不是充分条件 B．甲是乙的充分条件但不是必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．下列函数中，在(0，＋∞)为增函数的是( )
A．y＝x2＋x B．y＝log12 x
C．y＝14 x D．y＝cos x
8．不等式|x－1|>1的解集为( )
A．{x|x>2} B．{x|x<0}
C．{x|0<x<2} D．{x|x<0或x>2}
9．从5位工人中选2人，分别担任保管员和质量监督员，则不同的选法共有( )
A．10种 B．20种
C．60种 D．120种
10．若a>0，b>0，则log2ab ＝
A．12 log2a－12 log2b B．12 log2a＋12 log2b
C．log2a－12 log2b D．12 log2a－log2b
11．直线y＝x－2与两坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．42
12．甲、乙各进行一次射击，若甲击中目标的概率是0.4，乙击中目标的概率是0.5，且甲、乙是否击中目标相互独立，则甲、乙都击中目标的概率是( )
A．0.9 B．0.5 C．0.4 D．0.2
13．双曲线x24 －y29 ＝1的渐近线议程为( )
A．x4 ±y9 ＝0 B．x9 ±y4 ＝0
C．x2 ±y3 ＝0 D．x3 ±y2 ＝0
14．已知函数f(x)＝1x－1 ，则f(2)与f(－2)的等差中项等于( )
A．17 B．16
C．13 D．23
15．过抛物线C：y2＝4x的焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．42 D．8
16．若向量a＝(3，4)，则与a方向相同的单位向量为( )
A．(0，1) B．(1，0)
C．35，45 D．45，35
17．已知函数f(x)＝ax3.若f′(3)＝9，则a＝( )
A．19 B．13
C．1 D．3
第Ⅱ卷(非选择题，共65分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
18．函数y＝1＋xx 的定义域为.
19．已知函数f(x)＝2x＋1，则f(2x)＝.
20．圆x2＋y2＝5在点(1，2)处切线的方程为.
21．若28，37，x，30四个数的平均数为35，则：x＝.
三、解答题(本大题共4小题，共49分．解答应写出推理、演算步骤)
22．(本小题满分12分)
已知A，B为⊙O上的两点，且AB＝33 ，∠ABO＝30°.求⊙O的半径．
23．(本小题满分12分)
已知an 是公差不为0的等差数列，且a2，a6，a12成等比数列，a2＋a6＋a12＝76.求an 的通项公式．
24．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2x3－3x2＋2.
(Ⅰ)求f′(x)；
(Ⅱ)求f(x)在区间的最大值与最小值．
25．(本小题满分13分)
已知椭圆C：x2a2 ＋y2b2 ＝1(a>b>0)，M(0，－1)和N3，12 为C上两点．
(Ⅰ)求C的标准方程；
(Ⅱ)求C的左焦点到直线MN的距离．
参考答案及解析
一、选择题
1．【答案】A
【考情点拨】本题主要考查的知识点为集合的运算．
【应试指导】A∩B＝{x|－1≤x<2}．
2．【答案】D
【考情点拨】本题主要考查的知识点为三角函数的性质．
【应试指导】正弦函数值在第三、四象限小于0，正切函数值在第二、四象限小于0，故题中所求角在第四象限．
3．【答案】D
【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的周期性和奇偶性．
【应试指导】选项A、C是奇函数，选项B是偶函数，但不是周期函数，只有选项D既是偶函数又是周期函数．
4．【答案】B
【考情点拨】本题主要考查的知识点为对数函数和指数函数的计算．
【应试指导】13 －3＋log218 ＋34 0＝27－3＋1＝25.
5．【答案】C
【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的最小正周期．
【应试指导】整理得y＝3(cos 2x－sin 2x)＋2cos 2x＝3cos 2x＋cos 2x＋1＝4cos 2x＋1，故函数的最小正周期为T＝2π2 ＝π.
6．【答案】C
【考情点拨】本题主要考查的知识点为简易逻辑．
【应试指导】由题可知甲⇒乙，并且乙⇒甲，故甲是乙的充要条件．
7．【答案】A
【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的单调性．
【应试指导】A项中，y＝x2＋x＝x＋12 2－14 ，故函数在－12，＋∞ 上是增函数，故函数在0，＋∞ 上也是增函数．
8．【答案】D
【考情点拨】本题主要考查的知识点为绝对值不等式．
【应试指导】|x－1|>1⇒x－1>1或x－1<－1，即x>2或x<0，故不等式的解集为{x|x<0或x>2}．
9．【答案】B
【考情点拨】本题主要考查的知识点为排列组合．
【应试指导】从5位工人中选出2人分别担任保管员和质量监督员的选法共有A25 ＝5×4＝20种．
10．【答案】A
【考情点拨】本题主要考查的知识点为对数函数的性质．
【应试指导】log2ab ＝log2(a•b－1)12 ＝log2(a12 •b－12 )＝log2a12 ＋log2b－12 ＝12 log2a－12 log2b.
11．【答案】B
【考情点拨】本题主要考查的知识点为解三角形．
【应试指导】易知A、B两点的坐标分别为A(2，0)，B(0，－2)，故SΔAOB＝12 OA•OB＝12 ×2×2＝2.
12．【答案】D
【考情点拨】本题主要考查的知识点为独立事件同时发生的概率．
【应试指导】甲、乙都击中目标的概率为0.4×0.5＝0.2.
13．【答案】C
【考情点拨】本题主要考查的知识点为双曲线的渐近线．
【应试指导】令x24 －y29 ＝0，得x2 ±y3 ＝0，即双曲线的渐近线为x2 ±y3 ＝0.
14．【答案】C
【考情点拨】本题主要考查的知识点为等差数列的性质．
【应试指导】f(2)＝12－1 ＝1，f(－2)＝1－2－1 ＝13 ，故f(2)与f(－2)的等差中项为12 [f(2)＋f(－2)]＝12 1－13 ＝13 .
15．【答案】B
【考情点拨】本题主要考查的知识点为抛物线的性质．
【应试指导】抛物线的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，则A、B两点的距离为A点和B点到准线的距离之和，即|AB|＝2＋2＝4.
16．【答案】C
【考情点拨】本题主要考查的知识点为单位向量的求法．
【应试指导】与向量a方向相同的单位向量为aa ＝3，432＋42 ＝35，45 .
17．【答案】B
【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的导数的求法．
【应试指导】f′(x)＝3ax2，故f′(3)＝3a×32＝27a＝9，因此a＝13 .
二、填空题
18．【答案】{x|x≥－1且x≠0}
【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的定义域．
【应试指导】若使函数有意义，则有x≠0，1＋x≥0，故其定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
19．【答案】4x＋1
【考情点拨】本题主要考查的知识点为复合函数的求法．
【应试指导】f(2x)＝2×2x＋1＝4x＋1.
20．【答案】x＋2y－5＝0
【考情点拨】本题主要考查的知识点为圆的切线．
【应试指导】由题可知切点到圆心所在直线的斜率为21 ＝2，故切线的斜率为－12 ，因此所求切线的方程为y－2＝－12 (x－1)，即x＋2y－5＝0.
21．【答案】45
【考情点拨】本题主要考查的知识点为平均数．
【应试指导】由题可知28＋37＋x＋304 ＝35，解得x＝45.
三、解答题
22．设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r.
在ΔAOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，所以∠AOB＝120°.
由余弦定理得r2＋r2－2r2cos 120°＝(33 )2，解得r＝3.
所以⊙O的半径为3.
23．设an 的公差为d，则d≠0，且
a2＝a1＋d，a6＝a1＋5d，a12＝a1＋11d，
由题意得（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋11d）＝76，（a1＋5d）2＝（a1＋d）（a1＋11d），
解得a1＝14，d＝2.
所以an 的通项公式为an＝14＋2(n－1)＝2n＋12.
24．(Ⅰ)f′(x)＝6x2－6x.
(Ⅱ)令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1.
因为f(－2)＝－26，f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝6，
所以f(x)在区间[－2，2]的最大值为6，最小值为－26.
25．(Ⅰ)将点M和N的坐标代入x2a2 ＋y2b2 ＝1得
1b2＝1，3a2＋14b2＝1， 解得a2＝4，b2＝1，
因此C的标准方程为x24 ＋y2＝1.
(Ⅱ)C的左焦点为(－3 ，0)，
直线MN的方程为3 x－2y－2＝0，
所以C的左焦点到直线MN的距离
d＝|3×（－3）－2|7 ＝577 .